ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА

(основные вопросы экзамена , IV курс ОЭТФ) 

Лектор

доцент Приклонский В.И.

кафедра математики

I 

Введение 

Лекци №1 

• Этапы решения задачи на ЭВМ. Численные методы. 
• Погрешность решения. 
• Погрешности округления при вычислениях на ЭВМ с плавающей запятой. 

II 

Интерполяция и приближение функций 

Лекци № 2

Лекци № 3

Лекци № 4

• Постановка задачи. Полиномиальная интерполяция. 
• Интерполяционный многочлен Лагранжа. 
• Интерполяционный многочлен Ньютона. 
• Сплайн-интерполяция. 
• Среднеквадратичная аппроксимация. 
• Системы ортогональных полиномов. 
• Метод наименьших квадратов. 

III 

Численное интегрирование 

Лекци №4 

Лекци №5 

• Постановка задачи. Квадратурные формулы Ньютона-Котесса. 
• Формула трапеций и формула Симпсона. Составные квадратурные формулы. 
• Апостериорная оценка точности квадратурных формул: метод Рунге, метод Эйткена. 
• Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля. Формула средних прямоугольников. 
• Устойчивость квадртурных формул. 
• Метод Филона интегрирования быстроосциллирующих функций. 

IV 

Численные методы решения нелинейных уравнений

Лекци №6 

Лекци №7 

• Сходимость метода простой итерации. 
• Итерационные методы решения уравнения с одним неизвестным (скалярный случай). 
• Дихотомия. Методы простой итераци, Ньютона, секущих, парабол. 
• Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. 
• Сходимость метода Ньютона. 

V 

Методы решения основных задач линейной алгебры 

Лекци    №7 

Лекци №8 

Лекци №9 

Лекци №10 

• Обусловленность СЛАУ. Погрешности. Метод исключения Гаусса. 
• LU-разложение. 
• Вычисление определителя и обратной матрицы. 
• Метод прогонки решения СЛАУ ленточного вида. 
• Матричная прогонка. 
• Итерационные одношаговые методы решени СЛАУ. Достаточные условия сходимости. 
• Метод простой итерации; методы Зейделя, верхней релаксации, Якоби. 
• Алгебраическая проблема собственных значений. Простейшие методы. 
• Нахождение собственных значений методом интерполяции. 3-х диагональные матрицы. 
• Метод обратной итерации нахождения собственного вектора. 
• Итерационный метод вращений Якоби нахождения собственных векторов и собственных значений симметричной вещественной матрицы 

VI 

Методы оптимизации 

Лекци №11 

Лекци №12 

Лекци №13 

• Постановка задачи. Минимум функции одного переменного. 
• Метод золотого сечения. Метод парабол. 
• Минимум функции многих переменных. Квадратичная функция, ее свойства. 
• Рельеф поверхности уровня. 
• Спуск по координатам. 
• Градиентные методы. Наискорейший спуск. 
• Методы второго порядка. Сопряженные направления, их свойства. 
• Метод сопряженных градиентов. 
• Задача на минимум функционала. Постановка задачи. Метод пробных функций. 
• Метод Ритца. 

VII 

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Лекци №* 

• Одношаговые методы. 
• Метод Рунге-Кутта. 

VIII 

Элементы теории разностных схем

Лекци №14 

Лекци №15 

Лекци №16 

• Постановка задачи. Невязка разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость двухслойных разностных схем. 
• Достаточные признаки устойчивости линейных разностных схем по входным данным. 
• Сходимость и порядок точности разностной схемы. 
• Методы построения разностных схем. Консервативные схемы. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) построения разностных схем. 
• Разностная схема для одномерного уравнения теплопроводности в ограниченной области. Явная и неявная схемы. Схема с весами. Шаблон. Аппроксимация. Устойчивость в чебышевской норме. Сходимость. Методы нахождения сеточного решения. 
• Разностная схема для уравнения колебаний на отрезке. Устойчивость. Метод гармоник исследования устойчивости разностной схемы. 
• Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. 
• Продольно-поперечная разностная схема для уравнения теплопроводности. 

ЛИТЕРАТУРА

• Приклонский В.И.

Численные методы. -МГУ.:Физфак,1999.-146с.

• Калиткин Н.Н.

Численные методы. -М.:Наука,1978.-512с.

• Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.

Численные методы. -М.:Наука,1987.

• Самарский А.А., Гулин А.В.

Численные методы. -М.:Наука,1989.-432с.

• Марчук Г.И.

Методы вычислительной математики. - М.:Наука,1989.-608с. 

• Федоренко Р.П.

Введение в вычислительную физику. - М.:изд.-во МФТИ,1994.-528с.